Las matemáticas de las epidemias

Se supone que los titulares deberían captar la atención… ¿En qué estaría pensando cuando decidí titular mi artículo de opinión juntando una de las palabras más temibles de la actualidad con una de las viejas enemigas de la mayoría de estudiantes? Antes de que salgáis corriendo, os invito a que leáis un poco más, porque el título no hace justicia a lo importante que es lo que os explicaré.


Cómo controlar una pandemia


La evolución de las epidemias es caprichosa, ya que depende de muchos factores tanto víricos como demográficos, entre otros. Y como hemos podido comprobar mundialmente en los últimos meses, pueden ocasionar importantes estragos. ¿Qué estrategias de control podemos seguir para evitar estas consecuencias?


Haciendo un esquema matemático y muy simplificado de la población, podemos partir de la base de que esta se divide en tres principales categorías. Por un lado tendríamos a las personas susceptibles, que son aquellas personas que no han sido contagiadas todavía. Por otro lado tendríamos a las infectadas, que son aquella portadoras del virus, y por último las recuperadas, que son aquellas que han sobrevivido a la infección y no pueden volver a ser contagiadas, suponiendo que los anticuerpos generados otorguen inmunidad.

Principales categorías en que se divide la población para estudiar la evolución de una pandemia

Esta clasificación nos ayuda a visualizar qué estrategias podemos seguir para intentar frenar la epidemia. Lo primero que podemos pensar es que si el foco de infección proviene del grupo de infectados, lo mejor sería suprimir a este grupo de población. Esta es la táctica de la vacunación, una herramienta muy útil consistente en introducir patógenos atenuados del virus en cuestión con el objetivo de desarrollar anticuerpos contra él. ¿A que es una buena idea? El problema viene cuando nos damos cuenta de que desarrollar una vacuna no se consigue de la noche a la mañana. Pensad que las primeras muestras de la viruela datan del faraón egipcio Ramsés V, y que no fue hasta finales del s.XVIII cuando Edward Jenner desarrolló la primera vacuna moderna, en concreto para esta enfermedad. Y no hace falta irse tan lejos, cuando hoy mismo estamos viviendo esta situación, aunque quizás la tecnología actual no nos hará esperar tantos años para desarrollar la vacuna contra la covid-19.


Cómo evoluciona una pandemia


Pero mientras esperamos a la vacuna, ¿qué podemos hacer?, ¿libre albedrío y que el crecimiento de la población inmune sea natural? Bueno, es una estrategia como otra cualquiera. Con el paso del tiempo se alcanzaría una ‘inmunidad de rebaño’ que consiste en que la mayor parte de la población desarrolle anticuerpos y dificulte que el virus encuentre portadores a los que infectar. Puede ser una buena opción cuando las tasas de mortalidad y severidad de los síntomas sean leves, muy leves. Pero en caso contrario, esto supondría un coste sanitario y humano muy grande. Entonces, ¿qué hacemos si no podemos disminuir el grupo de infectados a tiempo, ni aumentar la población recuperada sin evitar una ingente cantidad de pérdidas?


Bueno, podemos intentar cortar los patrones de transmisión. ¿Te suena ,verdad? Eso de la cuarentena. No pienses que esto es una moda nueva del s.XXI, estas medidas se llevan practicando desde hace mucho. Ya en los siglos XV y XVI, en el puerto de Venecia imponían cuarentenas a los barcos que atracaban como medida de precaución contra la peste. Y ya de antes te sonarán las historias de cómo los leprosos eran obligados a llevar una campanilla para advertir de su presencia, y así eran excluidos de las comunidades para no extender más la enfermedad. Entonces, ¿no hemos avanzado nada en lo que a medidas de contención se refiere?


A ver, sí. Con los avances de los últimos años en cuestión de telefonía, geolocalización y datos móviles se han podido desarrollar aplicaciones basadas en el ‘contact tracing’, consistentes en aislar únicamente a aquellas personas que presenten síntomas de infección y avisar a todas aquellas que han tenido contacto con la persona infectada para que también se confinen, porque existe la posibilidad de que se hayan infectado también. Esto reduce el impacto económico que puede suponer el confinamiento total de la población, ya que tienen como objetivo únicamente aquellos posibles infectados. La pérdida de privacidad es importante, pero eso sería otro tipo de discusión… El uso de mascarillas, distancias de seguridad y medidas de higiene también son consideradas medidas de contención, aunque lógicamente actúan en un menor nivel.


¿Predecir el futuro?


Todos sabemos que es mejor prevenir que curar. ¿Pero cómo podemos saber qué es lo que va a pasar? Aunque no lo podamos conocer al cien por cien con seguridad, las matemáticas nos pueden ayudar a descifrarlo. Los modelos matemáticos son una herramienta que nos permite predecir el comportamiento a largo plazo de la epidemia a partir del brote, entre otras aplicaciones, como por ejemplo estimar el impacto de las vacunaciones en la expansión de la epidemia. Además, como sabéis, los estudios en ciencia se dividen principalmente en teóricos y experimentales. Pensad ahora, ¿cuánto de ético sería empezar a estudiar epidemias infectando a un grupo masivo de gente y esperando a ver qué pasa? Quizás no es la mejor opción.


La idea general de estos modelos es poder cuantificar cuántos individuos habrá cada día en cada uno de los grupos que introdujimos previamente (S = susceptibles; I = infectados; R = recuperados). Cuando los infectados obtienen inmunidad al superar la enfermedad, el nombre del modelo es “SIR” (Susceptible > Infectado > Recuperado), pero también hay casos en los que los individuos vuelven a ser susceptibles al patógeno tras el período de infección, lo que es el conocido como modelo “SIS” (Susceptible > Infectado > Susceptible).


Por supuesto, estos ejemplos de aquí son muy simples. Para que sean más realistas podríamos contabilizar el número de personas hospitalizadas. O bien las personas expuestas, que son aquellas que han sido infectadas pero todavía no son infecciosas. También podríamos contabilizar las personas que nacen y las que mueren. Todas estas pautas nos ayudarían a describir al detalle la sociedad en ese instante. Pero de momento vamos a quedarnos con el modelo SIR. Este puede ser descrito por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:


Estas ecuaciones describen la variación de las cantidades en cada uno de los grupos. Es decir, nos dicen el número de personas susceptibles, infectadas y recuperadas y cómo varían en el tiempo. Además la suma S+I+R = N, nos da el número total de habitantes de la población. Los otros dos personajes son β y ϒ, que son la tasa de infección y recuperación respectivamente. Estos dos parámetros se pueden inferir estadísticamente y serán distintos para cada enfermedad. Sin duda, estas ecuaciones son una gran herramienta a la hora de predecir el comportamiento de la epidemia.


Pero sin embargo, se quedan cortas a la hora de representar la gran complejidad detrás de este fenómeno. Aunque nos permiten cuantificar a grandes rasgos la evolución de la epidemia, hay muchos rasgos que se quedan atrás. De hecho, el patrón de transmisiones del que hablábamos durante los métodos de contención prácticamente no está reflejado.


MATES Y VIRUS


Por eso, existe una herramienta que nos permite representar aspectos individuales de las personas. Pensad en los habitantes como pequeñas bolitas. Estas personas interactúan con otras personas y estos contactos los representaremos como pequeñas barras uniendo las bolitas, que acaban formando una red. Esta estructura nos permitirá, por ejemplo, diferenciar entre personas con muchos contactos y entre personas que establecen menos relaciones en el día a día.


Aquí podemos ver dos poblaciones imaginarias que cuentan con el mismo número de habitantes pero que se relacionan de manera muy distinta. Esto es muy relevante a la hora de la evolución de la pandemia. Como supondréis, en la primera red la epidemia se desarrollará mucho más rápido que en la segunda:

En esta serie, podemos ver las dos poblaciones anteriores, con el mismo número de habitantes pero distinto número de interacciones por persona. De arriba a abajo hemos representado los días 1, 10, 20 y 30 de la epidemia. Como adelantábamos antes, en la población con más densidad de contactos el número de infectados y recuperados crece más rápido ya que hay más posibles transmisiones.

Si contabilizamos la fracción de personas en cada grupo a lo largo de los días el esquemas sería el siguiente. Sí, esas famosas curvas que llevamos viendo todos estos meses en los medios de comunicación.

DIFÍCIL, PERO NO IMPOSIBLE


Por supuesto, modelizar la epidemia sigue siendo una tarea compleja. Para poder simular las transmisiones hay que conocer muchos parámetros epidemiológicos que a veces son difíciles de estimar, como los periodos de incubación o el intervalo serial (el período transcurrido entre que un individuo se infecta y se convierte en infector). También hay que contabilizar el tiempo de recuperación, las probabilidades de infectar o las probabilidades de ser infectados. Además, todos estos parámetros pueden cambiar de unos individuos a otros dependiendo de la edad o el sexo. La buena noticia es que las redes nos permiten simular estas diferencias, siendo una gran ventaja frente a las ecuaciones diferenciales que os mostré al principio.


Los modelos matemáticos que os he enseñado no son la cura para ninguna enfermedad. Sin embargo, el conocer los posibles futuros escenarios de una pandemia es de gran utilidad para actuar en consecuencia, estableciendo medidas de contención y trabajando de forma eficaz para frenar su evolución. Así que, mientras esperamos buenas noticias, poneos las mascarillas, cuidaos mucho y caminad con nosotros en el #EncuentroQuetzal2020 sin temor.

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